Perdidos en los espacios

Las matemáticas aparecieron cuando el ser humano necesitó cuantificar los objetos de su entorno, abstrayendo las características particulares de cada uno –dos ovejas son dos ovejas aunque una sea blanca y otra negra. Sin embargo resulta difícil aseverar el grado de generalidad de una idea matemática ya que no se sabe si existe un punto de vista a partir del cual parezca particular y sea deducible. Un ejemplo claro se encuentra en la historia de la geometría, en la forma en que nuestra noción de espacio se amplió más allá de lo que a simple vista parecería obvio.

La piedra angular y referencia obligada en la materia hasta fines del siglo XIX fue “Los elementos” de Euclides, la organización y sistematización del entendimiento que los griegos tenían sobre geometría. El método con el que está escrito se basa en hacer explícita la terminología utilizada mediante definiciones precisas, así como los conceptos planteando postulados –verdades que no necesitan demostración- a partir de los cuales mediante el uso estricto de la lógica se derivan sus consecuencias –teoremas.

El quinto y último de los postulados de “Los elementos”, el único cuya autoría se atribuye a Euclides, el famoso postulado de las paralelas, se convirtió en la piedra en el zapato de los matemáticos durante aproximadamente dos mil años: “dada una línea y un punto externo a ella existe sólo una más que pasa por el punto y es paralela a ella.”

A diferencia de los demás postulados que parecían más obvios e intuitivos los matemáticos sospecharon que el de las paralelas debía ser deducible a partir de los otros, mas fueron numerosos los intentos infructuosos por demostrarlo – como los de los griegos Ptolomeo y Proclus Diadocus, el musulmán Thhabit ibn Qurrah y el inglés John Wallis, inventor del símbolo ∞ para representar el infinito- ya que en el camino solían ocupar suposiciones ad hoc que no planteaban explícitamente – como que la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre 180 grados- o reemplazaban al postulado por otro igual de indemostrable y sospechoso.

Fue hasta el siglo XIX que Gauss, Bolyai, Lobachevsky y más tarde Riemann y Poincaré demostraron la existencia de espacios alternos al euclidiano en los que no se cumple el postulado de las paralelas: el espacio hiperbólico en el que por el punto externo a una línea hay un número infinito de otras que le son paralelas y el elíptico en el que por un punto externo a una línea no existen líneas paralelas a ella – como en la superficie de una esfera.

Aunque estos matemáticos murieron sin ver las repercusiones de sus aportaciones la realidad práctica de estas geometrías se hizo patente a principios del siglo XX cuando, al crear la teoría general de la relatividad, Albert Einstein se basó en el trabajo sobre geometrías elípticas de Riemann para proponer que la materia cambia la curvatura del espacio en que se encuentra dando origen a la interacción gravitacional entre los cuerpos.

¿Cuál fue entonces el error de Euclides? ¿En qué forma puede hacerse geometría sin el riesgo de anular la posibilidad de que múltiples formas de comprender las propiedades del espacio puedan ser empleadas como poderosas herramientas matemáticas? La respuesta fue dada por David Hilbert (véase Gödel y la negación absoluta de la mierda): Euclides erró al suponer que los puntos y líneas con los que definió sus postulados pertenecían a una realidad concreta, la de nuestra percepción sensorial –la que nos dice que dos líneas paralelas nunca se juntan- y no a una abstracta en donde sus características dependen estrictamente de las propiedades que se les asignan –pudiendo ser numéricas- al ser definidos poniendo límites a lo que nuestra experiencia nos sugiera. Lo anterior llevó a que los problemas geométricos se unieran a los de la aritmética, desembocando en la creación de la teoría de conjuntos de Georg Cantor que los trata de la forma más abstracta posible.

En la actualidad existen otros espacios alternos al euclidiano además del hiperbólico y del elíptico como el fractal, el proyectivo y el toroidal, todos aplicables de una u otra forma a fenómenos que observamos en la naturaleza.

¿A qué espacio pertenece nuestra tierra? El que esta pregunta no tenga respuesta no resta mérito al trabajo de matemáticos y físicos, lo enaltece.