Gödel y la negación absoluta de la mierda

Un axioma es una verdad o principio fundamental que nos ayuda a entender el comportamiento de algo. Dentro de las matemáticas se hace una axiomatización cuando se da una traducción formal de las propiedades de entes abstractos, por ejemplo la codificación de silogismos que realizó Aristóteles al fundar la lógica y la codificación de las propiedades de puntos y líneas hecha por Euclides cuando fundó la geometría.

Hasta antes del siglo XIX se creía que las únicas matemáticas posibles eran aquellas que representaran fielmente la realidad, mas el descubrimiento de geometrías alternas a la euclidiana (igualmente válidas) así como el desarrollo de la teoría de conjuntos basada en la existencia de distintos tipos de infinitos y que planteaba múltiples paradojas (como que el conjunto de todos los conjuntos sea o no otro conjunto) orilló a los matemáticos a preocuparse por la solidez de sus teorías y por encontrar métodos de axiomatización libres de contradicciones.

La propuesta más importante en este sentido fue hecha a principios del siglo XX por Russell y Whitehead al escribir Principia Mathematica, el mayor intento hecho para derivar las matemáticas a partir de la lógica. Sin embargo nadie estaba seguro de si habían formas de construir paradojas utilizando sus métodos. Fue entonces que David Hilbert convocó a la comunidad de matemáticos de la época a demostrar que el sistema definido en Principia Mathematica era consistente (libre de contradicciones) y completo (que cada proposición verdadera de la teoría de los números podía ser derivada dentro del marco que planteaba) utilizando sus propios métodos, lo que implicaba un razonamiento circular: justificar un método de razonamiento basándose en el mismo método de razonamiento.

La solución fue dada en 1931 por Kurt Gödel al descubrir el teorema que lleva su nombre y que en pocas palabras dice que cualquier formulación axiomática consistente sobre teoría de los números incluye proposiciones indecidibles (que no son verdaderas ni falsas), lo que equivale a decir que para todo método de razonamiento sustentado en la lógica existirán verdades o mentiras indemostrables. Para llegar a esta conclusión Gödel construyó el equivalente numérico a la oración “esta oración es falsa” que siendo verdadera es falsa y viceversa, logrando que los números además de hablar de cantidades se refieran a otros números.

El teorema de Gödel tiene implicaciones filosóficas muy importantes, al estar basado en la auto-referencia hace pensar en la relación entre la conciencia y la verdad además de decirnos que por más rígidas y numerosas que sean las reglas propuestas para validar algo siempre existirán formas de escapar a ellas, tanto así que ni todo el poder de la lógica es suficiente para englobar la complejidad de los números enteros.

Llevado a nivel de la cultura, si se hace la analogía de la axiomatización con el dogmatismo existente en ciertos grupos sociales, la “negación absoluta de la mierda” como definiera Milan Kundera al kitsch, el hallazgo de Gödel nos sugiere que no existen creencias capaces de englobar la complejidad del ser humano.